مقدمات مربوط به کدهای محاسباتی(II): معادله‌ی بس ذره‌ای یا معادله‌ی تک ذره‌ای؟

ظاهر تابع موج یک سامانه‌ی برهمکنشی بس ذره‌ای به صورت زیر است:

\(\mathbf{\Psi}= \mathbf{\Psi}(\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, … , \mathbf{r_N}; \mathbf{R_1} , \mathbf{R_2} , … , \mathbf{R_N}) \)

فرض کنید می‌خواهید مساله را برای بلور سیلییم با ساختار الماسی درون یاخته‌اش حل کنید.
ثابت شبکه این بلور ۵٫۴۳ آنگستروم و حجم یاخته \(\frac{a^3}{4}\) است. اگر مشبندی یاخته را روی \(\Delta{x}=0.1A\) قرار دهید، گرید درون یاخته شامل \(N_P=\frac{\frac{a^3}{4}}{\Delta{x}}\sim 4000\) نقطه است. مجموع تعداد هسته‌ها و الکترونهای درون این یاخته هم برابر با \(N+M=10\)تاست. اگر از دیدگاه دامنه‌ی احتمال یافتن ذرات به آن نگاه کنید برای تعیین کامل \(\mathbf{\Psi}=\mathbf{\Psi}(\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, … , \mathbf{r_8}; \mathbf{R_1} , \mathbf{R_2}) \) باید \((N_P)^{10} \sim 10^{46} \) عدد مختلط را در حافظه رایانه ذخیره کنید. بعلاوه اینها را که کنار بگذارید ابعاد ماتریس‌های عملگری چندین برابر افزایش می‌یابد و ضرب ماتریسی بین این عملگرها و آرایه‌ها غیرممکن می‌شود. سایز سامانه را هم افزایش دهید تعداد محاسبات به صورت نمایی افزایش می‎یابد. برای گذر از این دیوار نمایی راه‌های مختلفی پیشنهاد شده که فراگیرترین آن نظریه‌ی تابعی چگالی است.
البته استفاده از این روش برای محاسبات اتمی خیلی هم بد نیست.
در محاسبات بس‌ذره‌ای دیدیم که برای تعیین کامل تابع موج به تعداد \((NUMGRID)^N\) عدد باید ذخیره کنید. برای ساده‌سازی هسته‌ها را فریز کنید چون جرم بینهایتی نسبت به الکترونها دارند. اما به هرحال این هسته‌ها تابع موج بس الکترونی را با اعوجاج مواجه می‌کنند (فاز بری – اثر جان تلر). پس از تقریب CALMPED NUCLEI برای جداسازی بخش هسته‌ای و الکترونی استفاده می‌شود و شما دیگر یک معادله‌ی بس الکترونی خواهید داشت. البته این صرفاً یک تقریب است چون از اصل عدم قطعیت می‌دانیم که جایگزیدگی کامل در مکان بی معنی است.
در مرحله بعد از تقریب الکترون مستقل برای نوشتن تابع موج کلی سامانه به صورت حاصل‌ضرب تابع موج تک ذره‌ها استفاده کنید (independent electron approximation)- اما در تقریب الکترون مستقل یک مشکل وجود دارد که باید مرتفع شود: باید جمله‌ی برهمکنش کولنی و اصل طرد پائولی را وارد هامیلتونی کنیم. دترمینان اسلیتر و تقریب MEAN-FIELD پاسخ‌های این مساله هستند. با اضافه شدن پتانسیل هارتری، نوبت به پتانسیل تبادلی و همبستگی می‌رسد که هدف نظریه‌ی DFT است.
پس از اعمال نظریه‌ی تابعی چگالی به مساله‌ی غیربدیهی بس‌ذره‌ای، تابع موج کلی سامانه:

\(\mathbf{\Psi}= \mathbf{\Psi}(\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, …\mathbf{r_N}) = \prod_{i}^N\psi_i(\mathbf{r}_i)\)

شکل عملگری معادلات کان-شم:

\(E(\rho)= T_s[{\psi_i[\rho]}] + E_H[\rho] + E_{XC}[\rho] + E_{ext} \)

بخش تبادلی همبستگی (XC) طرفداران زیادی دارد: LDA-GGA-metaGGA, … هر کدام هم ناشری دارد که می‌توانید در اکثر کتابخانه‌های شبه پتانسیلی آنها را بیابید (در ساختن شبه پتانسیل اطلاعات تابعی نیز وارد می‌شود).
بعد از این همه حرف به این نتیجه می‌رسیم که:

\(\mathbf{\Psi}=\mathbf{\Psi}(\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, …\mathbf{r_N}) \rightarrow \psi_1(\mathbf{r}), \psi_2(\mathbf{r}), … , \psi_N(\mathbf{r})\)

یعنی

\((NUMGRID)^N \rightarrow N\times(NUMGRID)\)

برای مساله‌ی سیلیکون این تعداد به

\(10\times4000\)

کاهش می‌یابد. البته اگر شرایط مرزی دوره‌ای اعمال نکنید هنوز \(N=10^{23}\) که باید ۴۰۰۰ ضرب شود. برای اتمها و مولکولهای منزوی بسیار ایده‌آل است معادله را غیردوره‌ای حل کنیم. اما بلور هنوز جای صحبت دارد.
منتظر توضیحات بیشتر برای جلسه بعد باشید.

سوال ها