معادلات دیفرانسیل

جلسه‌ی سوم: انواع معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE)

انواع معادلات دیفرانسیل خطی

۱- معادله‌ی دیفرانسیل معمولی خطی همگن دارای شکل نوعی زیر است:

\(e^ t \, {\color{blue}{\ddot{y}}} + 5 \, {\color{blue}{\dot{y}}} + t^9 \, {\color{blue}{y}} = 0\)

هر کدام از ضرایب باید تابعی از متغیر \(t\) باشند که در \(y, \dot{y},\ddot{y}\) ضرب شده‌اند.
اگر بخواهیم شکل کلی یک معادله‌ی دیفرانسیل معمولی خطی همگن مرتبه \(n\) را بنویسیم به شکل زیر است:

\( p_ n(t) \, {\color{blue}{y^{(n)}}} + p_{n-1}(t) \, {\color{blue}{y^{(n-1)}}} + … + p_1(t) \, {\color{blue}{\dot{y}}} + p_0(t) \, {\color{blue}{y}} = 0\)

به توابع \( p_ n(t), … , p_ 0(t) \) ضرایب گفته می‌شود.

۲- معادله‌ی دیفرانسیل معمولی خطی ناهمگن دارای شکل نوعی زیر است:

\(e^ t \, {\color{blue}{\ddot{y}}} + 5 \, {\color{blue}{\dot{y}}} + t^9 \, {\color{blue}{y}} = {\color{orange}{7 \sin t}}\)

هر کدام از ضرایب هم باید تابعی از متغیر \(t\) باشند که در \(y, \dot{y},\ddot{y}\) ضرب شده‌اند.
اگر بخواهیم شکل کلی یک معادله‌ی دیفرانسیل معمولی خطی ناهمگن مرتبه \(n\) را بنویسیم به شکل زیر است:

\( p_ n(t) \, {\color{blue}{y^{(n)}}} + p_{n-1}(t) \, {\color{blue}{y^{(n-1)}}} + … + p_1(t) \, {\color{blue}{\dot{y}}} + p_0(t) \, {\color{blue}{y}} = {\color{orange}{q(t)}}\)

۳- هر معادله‌ی دیفرانسیل را که بتوان به ۲ شکل فوق نوشت، معادله‌ی دیفرانسیل خطی یا ODE خطی می‌گویند.
۴- اگر دو دسته معادله‌ی فوق را بر \(p_n(t)\) تقسیم کنیم، ضریب بالاترین مرتبه‌ی مشتق یعنی \(y^{(n)}\)، یک می‌شود. پس اگر معادلاتی که در بخش (۱) و (۲)بیان شدند دارای ضریب بالاترین مرتبه‌ی مشتق یک بودند، به آن فرم خطی استاندارد می‌گویند.

\( {\color{blue}{y^{(n)}}} + p_{n-1}(t) \, {\color{blue}{y^{(n-1)}}} + … + p_1(t) \, {\color{blue}{\dot{y}}} + p_0(t) \, {\color{blue}{y}} = 0\)

نکته ۱

فعلاً اصرار داریم پاسخ‌های \(y(t)\) روی بازه‌ی باز \(I\) تعریف شده باشند (یعنی فعلاً بازه‌های گسسته را در نظر نمی‌گیریم). به‌علاوه فرض میکنیم توابع \( p_ n(t), … , p_ 0(t), q(t) \) نیز روی این بازه خوش رفتار باشند. منظور از خوش رفتار اینست که مثلاً روی بازه‌ی \(I\) پیوسته باشند.

اگر نمی‌دانید بازه‌ی باز چیست بگذارید آنرا تعریف کنیم:

یک بازه‌ی باز به بازه‌ای گفته می‌شود که مجموعه‌ای از اعداد حقیقی متصل به هم را در بر گیرد و هیچ دو نقطه‌ی انتهایی نداشته باشد. نمادگذاری یک بازه‌ی باز از اعداد که بین a و b قرار دارد را این‌گونه نشان می‌دهیم: \((a,b)\) یعنی تمامی اعدادی مثل \(x\) که بین \(a<x<b\) قرار دارند. حتی اعدادی که دو طرف بازه قرار دارند، میتوانند بی‌نهایت باشند که در آن صورت آن را اینگونه نشان می‌دهیم:

\( (-\infty ,b), (a,+\infty) \)

اگر در جایی نماد \( (-\infty , +\infty) \) را دیدید به معنای تمام اعداد حقیقی \(\mathbb{R}\) است.

نکته ۲

این نکته برای تشخیص همگن بودن یا ناهمگن بودن معادلات خطی بسیار کاربردی است. اما باید خطی بودنش را خودتان از قبل بدانید. کافی است به جای \(y\) مقدار صفر را قرار دهید:
اگر \( y=0 \) پاسخ بود، معادله‌ی دیفرانسیل معمولی (ODE) همگن است.
اگر \( y=0 \) پاسخ نبود، معادله‌ی دیفرانسیل معمولی (ODE) ناهمگن است.

نکته‌ی ۳

مثال تقسیم سلولی یک معادله دیفرانسیل معمولی همگن است. یعنی اگر شما در همان ابتدا هیچ سلولی نداشته باشید هیچ رشدی هم صورت نخواهد گرفت.
از خودتان بپرسید تمام معادلاتی که تا اینجا خواندیم خطی بودند، شکل غیرخطی چگونه است؟؟؟
پاسخ: ساختار \(y, \dot{y},\ddot{y}, … \) شکل پیچیده تری به خودش می‌گیرد: مثلا ممکن است به توان یک عدد مشخص برسد یا حتی داخل یکدیگر ضرب شوند.

تمرین

کدامیک از معادلات زیر خطی و کدامیک غیر خطی است؟

\( \ddot{y} – 7 t \, y \dot{y} = 0\)
\(\ddot{y} = e^ t (y+t^2)\)
\(\dot{y} – y^2 = 0\)
\(\dot{y}^2 – t y = \sin t\)
\(\dot{y} = \cos (y+t)\)