آشنایی و انواع مدل‌های واقعی در قالب معادلات دیفرانسیل

جلسه‌ی اول

اهداف این جلسه:
۱- یک معادله‌ی دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی اول چه شکلی است و مفهومش چیست؟
۲- از این مساله برای مدل‌سازی رفتار چند سیستم معروف استفاده می‌کنیم.
۳- به سیستم یک سیگنال ورودی می‌دهیم و پاسخش را دریافت می‌کنیم، این رهیافتی است که با آن معادله‌ی دیفرانسیل یک سیستم فیزیکی را به‌دست می‌آوریم.
۴- در مرحله‌ی آخر به‌روش تحلیل یکا، چک می‌کنیم که آیا جوابمان درست است یا نه؟

یک تابع جادویی

سوال: من یک تابعی در ذهنم سراغ دارم. اسمش هست\(y(t)\):
یک سرنخ هم بهتون میدم: این تابع توی معادله‌ی دیفرانسیل زیر صدق می‌کنه:

\(\dot{y(t)}=3y\)

معادله‌ی بالا می‌تواند رفتار یک سیستم بیولوژیکی را توصیف کند. مثل رفتار مخمرها! نقطه‌ی بالای \(\dot{y}\) یعنی مشتق اول نسبت به زمان. حتی می‌توانید به‌جایش از یک پریم استفاده کنید. \(\frac{dy}{dt}\) هم همین کار را می‌کند.
احتمالاً خیلی‌ها در ذهنتان حدس زده‌اید: \(y= e^{3t}\)
چون اگر این عبارت را در معادله جایگذاری کنیم، صدق می‌کند. خبر بدی دارم، این تابعی نیست که من دنبالش هستم. من فکر می‌کنم تابع‌های دیگری هم وجود دارد مثل:

\(y=7e^{3t}\)

یا

\(y=-5e^{3t}\)

و بی‌نهایت تابع دیگر!
پس انگار پاسخ این سوال یک خانواده از توابع به شکل زیر است:

\(y=ce^{3t}\)

به خانواده‌ی جواب‌های بالا پاسخ عمومی می‌گویند.
پاسخ عمومی چه می‌گوید:
۱- به ازای هر\(c\) یک جواب داریم و
۲- هیچ جواب دیگه‌ای هم نداریم.
اگر دقت کرده باشید این خانواده فقط به یک پارامتر بستگی دارد و آن پارامتر هم \(c\) است.
پس من هنوز تابعم را نگرفتم. من خانواده‌ای از توابع پیدا کردم.
سرنخ شماره ۲: تابع رمزی من در این شرط اولیه هم صدق می‌کند: \(y(0)=5\)
یعنی در زمان صفر مقدار این تابع ۵ است. پس بیایید آن را در معادله قرار دهیم:

\(5=ce^{0}\)

پس \(c=5\) است. پس از بین بی‌نهایت‌ها تابع فقط یکی‌شان تابعی بود که مد نظر من بود:

\(y=5e^{3t}\)

پس اگر جایی شنیدید که گفتند می‌خواهم یک مساله‌ی ویژه مقداری حل کنم معنی‌اش اینست.
بهترین راه حل برای معادلات دیفرانسیل حدس زدن جواب و گذاشتنش درون معادله است تا مطمئن شوید درست است.

مساله‌ی معروف تقسیم سلولی

تابع ناشناخته‌ای که من در بحث قبل مطرح کردم این‌جا کارساز است.
من یک سوال مطرح می‌کنم و شما شاهد پدیدار شدن معادله‌ی بحث قبلی در اینجا می‌شوید. اما چطور می‌شود از روی صورت مساله به معادله رسید؟
در این مثال می‌خواهیم رشد سلول‌های مخمری در چانه‌های نان (نانواها خمیر را قبل از صاف کردن به صورت گرد در می‌آورند) را بررسی کنیم. قبل از پیشروی بیشتر در این مثال شرط اولیه را فراموش نکنید.
سیستمی که قرار است، بررسی کنیم چگونه ساختاری دارد؟
ساختار پیچیده‌ای نیست. یک کلونی از سلول‌های مخمری در چانه‌های نان که می‌خواهند پیشروی کنند.
گام اول: متغیرهای مساله چه هستند؟ از چه یکاهایی استفاده می‌کنید؟ به این متغیرها یک نام اختصاص بدهید.
مثلاً من این نام‌گذاری را دوست دارم:
تعداد سلول‌ها \(y\)
زمان اندازه‌گیری شده بر حسب ثانیه \(t\)
به یک شرط اولیه هم نیاز داریم، \(y_{0}\)، یعنی تعداد سلول‌هایی که در زمان \(t=0\) وجود دارند.

مدل دیفرانسیلی ما

اگر \(y\) نشان‌دهنده‌ی تعداد سلول‌ها باشد، مشتقش چه معنایی دارد؟؟؟؟؟
خوب این مطلب را یاد بگیرید. مشتق نشان‌دهنده‌ی نرخ رشد تعداد سلول‌هاست. اما چطوری باید نرخ رشد سلول‌ها را به تعداد سلول‌ها ارتباط دهیم؟؟؟
در طبیعت وقتی یک سلول خیلی بزرگ می شود، خودش را تقسیم می‌کند. یعنی تبدیل به ۲تا سلول جداگانه می‌شود. اگر فرض کنیم تقسیم سلول‌ها فرآیندی مستقل است (یعنی تقسیم یک سلول به بقیه هیچ ربطی نداشته باشد). در نتیجه دو برابر شدن تعداد سلول‌ها رشدشان را هم دو برابر خواهد کرد. مثلا رشد ۲۰ تا سلول ۲ برابر رشد ۱۰ تا سلول است. چون ۲۰ تا سلول به ۴۰ تا سلول تقسیم می‌شوند ولی ۱۰ تا سلول تنها به ۲۰ تا سلول تقسیم می‌شوند.
پس باید بین تعداد سلول‌ها و مشتق آن‌ها یه رابطه‌ای مثل زیر برقرار باشد:

\(\dot{y}\propto{y}\)

من فرض میکنم این تناسب مثل یه عدد ثابت در \(y\) ضرب میشود:

\(\dot{y}=ay\)

به \(\frac{1}{a}\) زمان مشخصه می‌گویند. پاسخ عمومی معادله‌ی بالا به این شکل است:

\(y=y_{0}e^{at}\)

سوال ها