مقدمه‌ای بر مواد مغناطیسی: تک الکترون در میدان الکترومغناطیسی، رهیافت دیراک

نظریه‌ی تابعی چگالی و مواد مغناطیسی

مشهورترین کاربرد مواد مغناطیسی لایه‌نشانی فیلم‌های نازک برای ذخیره‌ی داده‌هاست که در هارددیسک‌ها و کارت‌های اعتباری استفاده می‌شود. مگنت‌های درون بلندگو و هدست‌ها یا موادی که در موتور خودروهای الکتریکی جدید استفاده می‌شود، نیز مغناطیسی‌اند. بعلاوه‌ی کاربردهایی که از همزیستی چند فاز مختلف ماده ناشی می‌شوند. مثل multiFerroics ها که بشدت مورد علاقه‌اند.
کاربردهای برخی مواد مغناطیسی دوبعدی که میزبان اثر کوانتومی هال هستند، نیز دریچه‌ی جدیدی از کاربردها را باز کرده است. به طور کلی بحث اسپین در همه جای فیزیک چگال ظاهر میشود. پس الزامی است که این موضوع را به طور جدی مطالعه کنیم.

بعلاوه کسانی که در دوره های محاسباتی این وبسایت ثبت نام میکنند، باید این مطالب را بدانند.

برای درک سامانه های بس ذره ای شامل اسپین، ابتدا از یک مدل تک ذره ای آغاز میکنیم.
اعمال میدان مغناطیسی از بیرون و نحوه‌ی اثر آن روی الکترون‌ها رسانش در فلزات، موضوعی است که قابل بحث است. اما مهمتر از آن وقتی است که خود ماده دارای مغناطش ذاتی باشد.
مهم‌ترین کمیتی که بسیار هم در محاسبات کوانتومی به دنبالش هستیم، مغناطش است که برابر با ممان دوقطبی‌ها در واحد حجم است. رابطه‌ی بالا سریعاً به رابطه‌ی زیر برای یک سامانه‌ی کوانتومی می‌رسیم:

\(M(H)=-\frac{1}{V} \frac{\partial E_{0}(H)}{\partial H}\)

که البته این رابطه برای دمای صفر است. در صورتی که دما افزایش یابد، باید بین میکروحالت‌های مختلف میانگین بگیرید.

الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت

تقریبا بیشتر مردم برای اینکه یادشان بیافتد، مغناطیس چیست از یک حلقه‌ی جریان استفاده می‌کنند.
پس یک حلقه‌ی دایره‌ای را در نظر بگیرید که حامل جریان الکتریکی است. طبق قانون دست راست، این حلقه دارای میدان مغناطیسی به بیرون صفحه است و اگر این حلقه در میدان مغناطیسی خارجی قرار گیرد، گشتاوری را حس می‌کند که می‌خواهد ممان مغناطیسی آن را بچرخاند تا انرژی این سامانه‌ی کلاسیکی را کمینه کند یا ساده تر بگوییم، همراستا شوند.
اینبار یک الکترون را در نظر بگیرید که روی مداری به شعاع \(r\) در حال چرخش است. و صفحه این مدار را بر \(xy\) منطبق بگیرید. پس الکترون با سرعت \(v\) حول محور \(z\) میچرخد.
برای بدست آوردن ممان مغناطیسی آن، به صورت کلاسیکی، می‌توان از همان ترفند حلقه جریان استفاده کرد:

\(I=\frac{q}{T}\)

بدین معنا که در یک دوره کامل حول دایره، مدت زمان \(T\) ثانیه سپری می‌شود. از نظر اندازه برابر است با:

\(T=\frac{2\pi r}{v}\)

که v سرعت چرخش الکترون است. اندازه ممان نیز با حاصل ضرب جریان در سطح یکی بود:

\(\mu=IA\)

با جایگذاری به نتیجه زیر دست می‌یابیم:

\(\mu=\pi r^2\times(\frac{-ev}{2\pi r})\)

یا بهتر بنویسیم:

\(\mu=-\frac{e}{2m_e} L\)

که \(\vec{L}\) نیز تکانه زاویه‌ای مداری است که طبق قانون دست راست باید در جهت \(z\) باشد.
پس این تکانه‌ای متناظر با اینست که الکترون در چه شعاع و با چه سرعتی در حال چرخش است. اهمیت تکانه‌ی زاویه‌ای از آنجا ناشی است که دارای بقا است مادامی که گشتاور خارجی به آن اعمال نشود. تمام این حرف‌ها برای کلاسیک صادق است و تکانه‌ی زاویه‌ای مداری می‌تواند هر مقداری را به خودش بگیرید. اما اگر یادتان باشد تکانه‌ی زاویه‌ای برای ذرات پیرامون هسته فقط مقادیر گسسته‌ای به خود می‌گرفت.
در نتیجه یک الکترون در حال چرخش، میدان مغناطیسی برابر با یک دو قطبی مغناطیسی را تولید می‌کند که متناسب با تکانه‌ی زاویه‌ای آن است.
حال اگر همین حلقه‌ی جریان یا الکترون را در یک میدان ارحج مغناطیسی یکنواخت قرار دهید، می‌خواهد در جهت میدان سمتگیری کند تا انرژی پتانسیلی را که کسب کرده، به حداقل برساند:

\(U=-\mu.B\)

پس انرژی زمانی به کمینه‌اش می‌رسد که جهت میدان و ممان موازی باشند.
همین سامانه‌ی الکترونی کلاسیکی به نظر ساده، بسیار پربحث است و در عمل مدلی بسیار کارامد، و باعث و بانی بسیاری از تحولات بوده است. چون نه تنها تحت یک میدان خارجی است بلکه خودش نیز میدان مغناطیسی درست می‌کند. از همین بحث ساده می‌خواهیم به کمیتی به نام اسپین برسیم که چارچوب مواد مغناطیسی است.

رفتار الکترون در میدان الکترومغناطیسی

بررسی رفتار ذرات در بلور بسیار پیچیده است. ابتدا یک الکترون را بررسی می‌کنیم که در یک میدان الکترومغناطیسی خارجی قرار دارد. پس میدان الکتریکی و مغناطیسی را می توان با پتانسیل‌های اسکالر و برداری الکتریکی و مغناطیسی جایگزین کرد. همچینین چون علاقه‌مند به نوشتن هامیلتونی برای این سامانه هستیم، ابتدا هامیلتونی کلاسیکی آن را بدست می‌آوریم که باید تبدیلات مناسب را اعمال کنیم:

\(H=\frac{1}{2m_e}(p+eA)^2-e \phi\)

نسخه‌ی وابسته به زمان رابطه‌ی کلاسیکی بالا به شکل زیر است:

\(i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t}\psi(r,t)=[\frac{1}{2m_e}(p+eA)^2-e \phi]\psi(r,t)\)

معادله‌ی بالا را هم اگر سعی کنیم ساده‌سازی کنیم باز هم اسپین که نقش محوری در مواد مغناطیسی دارد، ظاهر نمی شود.
چند راه برای بازیابی اسپین وجود دارد. یکی از این راه‌ها وارد کردن دستی جمله‌ی اسپینی است و بررسی حالت ایستای معادله‌ی شرودینگر بالا، که ما را به نتایج مطلوب می‌رساند. کافی است مدل ایستای معادله‌ی بالا را ساده‌سازی کنیم و جمله‌ی

\(\delta H = \frac{2\mu_B}{\bar{h}}S.B\)

را به هامیلتونی اضافه کنیم.
اما میدانیم که ظاهر نشدن این کمیت، بخاطر لحاظ نکردن ملاحظات نسبیتی در معادله‌ی شرودینگر معمولی است. این مشکل را دیراک حل کرد. پس به عنوان راهی جایگزین از معادله‌ی دیراک نیز می‌توان استفاده کرد تا ناوردایی تحت تبدیلات لورنتس حاصل شود (۱۹۲۸):

\(i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t}\psi_t (r,t)=[c\alpha . (p+eA) -e\phi + \beta m_e c^2]\psi_t (r,t)\)

که معادله‌ی فوق معادله‌ی دیراک است که دقیقاً با همان توان اول تابع موج کار می‌کند.
تابع موج دیراک \(\psi_t (\vec{r},t)\) دارای شکل زیر است:

\(
\psi_t (\vec{r},t)=
\left(\begin{matrix}
\psi(\vec{r},t;1) \\
\psi(\vec{r},t;2) \\
\psi(\vec{r},t;3) \\
\psi(\vec{r},t;4)
\end{matrix}\right)
\)

که به تابع موج بالا ۴-اسپینور می‌گویند. به ۲ عنصر بالایی جز بزرگ دیراک و ۲ عنصر پایینی جز کوچک می‌گویند. برای ساده‌سازی معادله‌ی دیراک تک ذره می‌توان آن را به شکل ۲ معادله نوشت برای اجزا کوچک و بزرگ نوشت:

\(
\psi_t (\vec{r},t)=
\left(\begin{matrix}
\psi_1(\vec{r},t) \\
\psi_2(\vec{r},t)
\end{matrix}\right)
\)

که

\(
\psi_1 (\vec{r},t)=
\left(\begin{matrix}
\psi(\vec{r},t;1) \\
\psi(\vec{r},t;2)
\end{matrix}\right)
\)

و

\(
\psi_2 (\vec{r},t)=
\left(\begin{matrix}
\psi(\vec{r},t;3) \\
\psi(\vec{r},t;4)
\end{matrix}\right)
\)

با این روش می‌توان معادله‌ی دیراک فوق را با اعمال چندین تقریب به صورت زیر حل کرد و به معادله‌ی زیر دست یافت:

\([\frac{1}{2m_e}(p+eA)^2-e\phi + \frac{2\mu_B}{\bar{h}}S.B]\psi_1=E\psi_1.\)

که طبق انتظار جمله‌ی اسپینی نیز در آن ظاهر شده است. همچنین با بسط عبارت فوق به معادله‌ی ساده‌تر شده زیر دست می‌یابیم:

\([\frac{p^2}{2m_e} – e\phi + \frac{\mu_B}{\bar{h}}(L+2S).B+\frac{e}{4}\frac{\mu_B}{\bar{h}}(B\times r)^2]\psi_1=E\psi_1\)

عملا ممان دو قطبی مغناطیسی به صورت زیر در می‌آید:

\(m=\frac{\mu_B}{\bar{h}}(L+2S).\)

و در جمله‌ی ممان دوقطبی مغناطیسی یک تکانه‌ی زاویه‌ای دیگر ظاهر می‌شود، با نام اسپین، که ذاتی خود الکترون است.
پس تا بدین جا توانستیم معادله‌ی شرودینگر نسبیتی یک الکترون در میدان الکترومغناطیس را بدست آوریم. تلاش می‌کنیم در جلسات آینده این هامیلتونی را برای یک سامانه‌ی بس ذره‌ای بنویسیم. از طریق تلگرام و اینستاگرام وبسایت ما را دنبال کنید تا اخبار جدید درباره جلسات سریعتر بدستتان برسد.

سوال ها