جلسه دوم: دسته‌بندی معادلات دیفرانسیل و نمادگذاری

معادلات دیفرانسیل چند دسته‌اند؟

دو دسته معادله دیفرانسیل داریم:
یکی معادلات دیفرانسیل معمولی یا ODE! در این دسته از معادلات فقط نسبت به تابعی که وابسته به یک متغیر است، مشتق گرفته می‌شود.
و دیگری معادلات دیفرانسیل جزیی یا PDE! در این دسته معادلات، نسبت به تابعی که به چندتا متغیر وابسته است، مشتق گرفته می‌شود.
فعلاً معادلات دیفرانسیل معمولی را بررسی می‌کنیم و بحث تبدیل فوریه و معادلات دیفرانسیل جزیی را به بعد موکول می‌کنیم.
در بیشتر مسائل فیزیکی که معادلات دیفرانسیل معمولی به آن‌ها حاکم هستند، متغیر مستقل زمان یا \(t\) است. مشتقات تابع \(y(t)\) را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:
مشتق اول:

\(\dot{y} y^{\prime } \frac{dy}{dt}\)

مشتق دوم

\(\ddot{y} y^{\prime \prime } \displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}\)

مشتق سوم

\(y^{(3)} \displaystyle \frac{d^3 y}{dt^3}\)

.
.
.
مشتق \(n\)ام

\(y^{(n)} \displaystyle \frac{d^n y}{dt^n}\)

نکته: اگر از شما خواستند مرتبه‌ی معادله‌ی دیفرانسیل را به‌دست آورید، کافی است بالاترین مرتبه‌ی مشتق را ببینید.
سوال: جنس معادله زیر چیست؟ PDE یا ODE؟ و مرتبه‌ی آن چند است؟

\(\displaystyle \displaystyle 9375 \cos (t^5) \, \ddot{y}^4 + 982 (y + t^3)^7 \, \dot{y} – 387 y^{(3)} y^{(4)} + 2t y^{(5)}\)
\(\displaystyle{}=- 30987\sqrt{y}+ 4087 \sin (t/y) + 7092 \ln (1- t^7) + 3786 e^{y^8 – t^3} + 18.031 \,\)

سوال ها