بهینه کردن ثابت شبکه

هدف این جلسه بدست آوردن ثابت شبکه‌ی بهینه بر اساس پارامترهای محاسباتی پیشین است.
۱- ثابت شبکه ای با کمترین میزان انرژی یا \(a_{0}\) کمیتی بسیار مهم است که باید از داده‌های انرژی بر حسب حجم یا انرژی بر حسب ثابت شبکه ( در بلورهای مکعبی ) استخراج شود. اما این که ما همیشه مینیمم انرژی مورد نظرمان است، چه دلیلی دارد؟؟؟ چرا همیشه در طبیعت به دنبال چیزی با کمینه ی انرژی میگردیم ( و به آن اصل کمینه ی انرژی میگوییم) ؟؟؟ مگر نه اینکه ممکن است دیگر کمیت‌های فیزیکی مثل انرژی های آزاد هم میتوانند در تعیین حالت زمینه تعادلی ، نقش بازی کنند؟ پس منظور از انرژی میتواند کمیتهای شیمی-فیزیکی جالبی باشد. دلیل استفاده از روش‌های وردشی نیز همین است که با کمینه سازی یکی از کمیت‌های ترمودینامیکی خاص مثل انرژی آزاد گیبس در شرایط ویژه، تعادل طبیعی را بیابیم. کمیتی که باید مینیمم شود انرژی آزاد گیبس غیرتعادلی است که در سامانه‌ی بلورینی که در قالب DFT بررسی میکنیم صادق است. این تحت شرایطی است که اثری از دما و فعالیت‌های فونونی الکترون ها و هسته ها نباشد. در این صورت فشار وارد به بلورهای مکعبی و غیر مکعبی را میتوان هیدرواستاتیک اعمال کرد و از فشارهای گرمایی دوری جست.
پس در این شرایط انرژی ایستا است و فرض اینکه ما انرژی یاخته بلوری ( که البته از آن با نام انرژی کل بلور هم یاد میکنیم ) را وردش و کمینه میکنیم فرض درستی است.
البته در جلسات آینده حرف درباره ی ترمودینامیک و فونون ها زیاد است که مروری کامل بر آن‌ها خواهیم داشت و روش هایی مثل دینامیک مولکولی و فونون ها را هم بررسی خواهیم کرد. در واقع فیزیک جذاب و نزدیک به ذهن این حیطه از علم ، آن را بشدت در سطح جهانی مشهور و مورد توجه کرده است. حتی داستان وقتی جالبتر است که اختیار انرژی آزاد مغناطیس را هم به جملات انرژی آزاد گیبس اضافه کنیم.
۲- برخی از فازهای فضایی یک ماده بلوری مثل سیلیسیم را در نظر بگیرید. این بلور ساختارهای متفاوت FCC, BCC & diamond را دارد. اما کدامش و در چه شرایط ترمودینامیکی پایدار است و در کجاها گذار فاز ساختاری دارد؟
همین مثال سیلیسیم را در نظر بگیرید، اگر بخواهید انرژی بر حسب حجم آنها را در گروه های فضایی مختلف با هم قیاس کنید، باید از نظر scale حجم در یک ردیف باشند. مثلاً یک راهش اینست که ثابت شبکه را بر حسب حجم بر واحد اتم بیان کنید. مثلاً یک یاخته ( یا ابر یاخته‌ی) ساده‌ی مکعبی دارای حجم \(V_{sc}=a^3\) است. حال این عدد را بر تعداد اتم‌های درون یاخته تقسیم کنید \(V_{atom}=\frac{a^3}{N_{sc}}\) .
پس یک سوپرسل یا ابریاخته‌ی مکعبی ساده مثل BCC, FCC , Diamond دارای تعداد اتم‌های زیر درون یاخته‌ی قراردادی‌اش است:
برای مثال درون یاخته‌ی قراردادی BCC چند اتم وجود دارد؟ ۲ اتم.
یاخته‌ی FCC، چهار اتم و یاخته‌ی الماسی ۸ اتم دارد. با این کار ثابت‌های شبکه را در scale یکسان و سازگاری برای مقایسه با هم انتخاب کرده‌اید. پس مجازید نمودارهای E-V این سه spaceGroup را با هم مقایسه کنید.
به صورت کلی برای هر کمیتی در فیزیک محاسباتی تنها باید یک متغیر وردش کند. شما نمی‌توانید دو اجرا با kpoint=12 , ecutwfc= 30Ry و kpoint=13 , ecutwfc= 40Ry برای یک ترکیب را از نظر انرژی مقایسه کنید. باید حداقل یکی از آنها یکسان باشد.
برای مثال در مورد فوق (سیلیسیم) spacegroup در حال تغییر بود.
پس رسم نمودارهای انرژی بر حسب حجم از این جهت به ما کمک شایانی در تعیین گذار فازها و حالت های تعادل بلوری میکند.
با استفاده از برازش‌های متفاوتی مثل خانواده‌ی Murnaghan ، Birch Murnaghan (مورناگان و بریچ مورناگان ) و … میتوانید بجای اینکه تعداد زیادی نقاط در scale محاسبات کوانتومی ایجاد کنید، از معادلات حالت تجربی استفاده کنید و ارتباط معادله‌ی حالتی برای کمیت انرژی ایجاد کنید.
برای تعیین ضرایبباید از رگرسیون استفاده کنید. رگرسیون بدین معناست که با متغیرهایی مستقل ( یک یا بیشتر ) ، متغیری وابسته را توصیف کرد (بعلاوه به این متغیرهای مستقل پیش بینی گر نیز گفته میشود). روش‌های رگرسیونی نیز بسیار است.
در واقع دو راه برای یافتن چنین ارتباطی بین متغیرهای مستقل و غیر مستقل هست:
خروجی دقیق محاسبات دینامیک مولکولی یا DFT – میکروسکوپیک
و برازش‌های تجربی مثل Murnaghan ، Birch Murnaghan (مورناگان و بریچ مورناگان ) که از دل خود ترمودینامیک بیرون آمده‌اند. یعنی حد ترمودینامیکی ( macroscopic ).
منطقی است که مورد دوم ساده‌تر است. در این آموزش نیز چنین برازش‌هایی روی اندک داده‌های انرژی بر حسب حجم ( E-V ) انجام شده‌اند.

رفتن به دوره

رفتن به جلسه